Sección plana de un tetraedro con un plano oblicuo

Un ejercicio común cuando hablamos del sistema diédrico en lo que se refiere a segundo de bachillerato, y que te puedes encontrar en tus exámenes de acceso a la universidad es la sección que se produce mediante un plano oblicuo. Para que te sea más fácil realizar este ejercicio, a continuación tienes una lámina que puedes imprimir. Tu punto de partida será algo parecido a lo siguiente:

1. El primer paso es empezar por poner nombre a los cuatro vértices del tetraedro, para poder referirnos a ellos. De esa manera tienes los puntos A, B, C y D, representados por sus proyecciones vertical y horizontal A₁, A₂, B₁, etc…
2. Aunque pienses que es un ejercicio complejo, si sabes realizar intersecciones en sistema diédrico (y a estas alturas deberías ser capaz de hacerlas sin problema), el problema no es tan difícil. Empieza con la intersección del plano α con la arista representada por el segmento AD. Veamos como:
   1. Incluye el segmento AD en un plano proyectante vertical. Para ello dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por A₂. Donde esta perpendicular corta a la traza horizontal del plano α tienes el punto E.
   2. A este plano proyectante puedes llamarlo β. Lo que debes hacer ahora es hallar la intersección de β con el plano α. Eso lo consigues dibujando la línea que une los puntos donde ambas trazas se cortan. Donde la traza vertical de α corta a la traza vertical de β tienes F₂. Si realizas una perpendicular a la línea de tierra que pase por F₂ obtienes F₁, que es la proyección horizontal del punto F.
   3. Ahora une E con F₁. Esa es la proyección horizontal de la intersección de los planos α y β. Donde esa línea corta al segmento AD tienes H₁. Si levantas una perpendicular a la línea de tierra que pase por H₁, donde esa perpendicular corta a la proyección vertical del segmento AD tienes H₂. El punto que representan H₁ y H₂ es el primer punto de intersección del plano oblicuo con el tetraedro.
3. El siguiente paso será hallar la intersección del plano α con la arista que representa el segmento BD. Puedes realizarlo repitiendo los pasos que te acabo de explicar más arriba, pero quiero explicarte un sistema alternativo más rápido.
   1. Prolonga la línea que une A₁ con B₁ hasta cortar a la traza horizontal del plano en el punto I.
   2. Dibuja una recta que pase por H₁ y el punto I y prolóngala hasta cortar al segmento que forman B₁ y D₁. El punto donde corten será el punto J₁. Con este proceso estás determinando un plano que pasa por I, A₁ y H₁. Por tanto la intersección de ese plano con α es al mismo tiempo la intersección con el tetraedro.
   3. Levanta una perpendicular a la línea de tierra que pase por J₁ hasta cortar al segmento que forman B₂ y D₂. Ese punto de intersección será J₂.
4. Lo siguiente será hallar el último punto de intersección.
   1. Traza una recta que pase por A₁ y C₁ hasta cortar a la traza horizontal del plano en el punto K.
   2. Dibuja una línea que pase por K y H₁ hasta cortar al segmento que une C₁ y D₁. Ese punto de intersección será L₁.
   3. Realiza una perpendicular a la línea de tierra que pase por L₁ hasta cortar a la arista que representan C₂ y D₂. El punto de corte será L₂.

Aquí abajo he hallado también los puntos J y L mediante planos proyectantes, para que puedas comprobar que el resultado es el mismo. Te recomiendo ponerlo a pantalla completa y hacer zoom, porque las líneas y los puntos están muy juntos.