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Curvas técnicas

Ovoides

1 marzo, 2021
Ovoides, propiedades y problemas más comunes resueltos

Los ovoides son curvas cerradas y planas, definidas por cuatro arcos de circunferencia. Dos de los arcos son simétricos entre si, y un tercer arco es media circunferencia. Al contrario que los óvalos, no son simétricos respecto a dos ejes, sino solo a uno, al que se denomina eje mayor. Al eje menor también se le suele denominar como diámetro.

Ovoides conocido el eje mayor

Para la construcción de este ovoide te proporcionan el eje mayor, representado en este caso por el segmento AB. Tu punto de partida será el siguiente:

Dibujar un ovoide conociendo el eje mayor del mismo
  1. Empieza por dividir el segmento mayor en seis partes iguales, utilizando el teorema de Tales. El segundo corte marca el centro O1 y el número 5 marca el centro O2.
  2. Dibuja una recta perpendicular al eje mayor que pase por el centro O1. Sobre esa perpendicular se encuentra el eje menor o diámetro.
  3. Traza media circunferencia con centro en O1 y radio hasta A. Los puntos donde este arco corta a la prolongación del diámetro son C y D, que determinan el mismo.
  4. Usando el compás, con centro en O1 y radio hasta B, dibuja un arco. Ese arco corta a la prolongación del diámetro en dos puntos que son O3 y O4, centros de los arcos que te servirán para dibujar los arcos superior e inferior.
  5. Dibuja una circunferencia auxiliar con centro en O2 y radio hasta B.
  6. Traza líneas que pasen por O3 y O2 por un lado, y otra que pase por O4 y O2 por el otro. Donde esas líneas cortan a la circunferencia auxiliar que acabas de dibujar tienes T1 y T2. Estos son los puntos de tangencia donde se cambia de un arco a otro.
  7. Ahora dibuja un arco con centro en O3 y radio hasta T2 que vaya de T2 a D.
  8. A continuación traza otro arco que con centro en O4 y radio hasta T1 que vaya de T1 a C.
  9. El último arco lo tienes pinchando con el compás en O2 y abriendo radio hasta T1. Dibuja desde T1 a T2.

Aquí abajo tienes un vídeo en el que puedes ver paso a paso como se hace este procedimiento, por si tienes alguna duda.

Ovoides conocido el diámetro o eje menor

Desde mi punto de vista, éste es el método más sencillo para dibujar ovoides. Seguro que en cuanto conozcas el proceso coincides conmigo. Tu punto de partid será semejante a esto:

Dibujas un ovoide conociendo su diámetro o eje menor
  1. Para empezar, este procedimiento tiene truco, porque los vértices del diámetro son los centros O1 y O2.
  2. Dibuja la mediatriz del diámetro, ya que sobre esta se encuentra el eje mayor. El punto donde corta al diámetro es el centro O3.
  3. Con centro en O3 y radio hasta O1 dibuja una circunferencia. La parte que queda a la izquierda (o debajo, si lo estás dibujando de pie) puedes marcarla directamente, ya que es la base del ovoide. Donde corta al eje mayor tienes los puntos A (extremo del eje mayor) y el otro centro O4 que te faltan para acabar de dibujar el ovoide.
  4. Date cuenta de que tanto O1 como O2 son también dos puntos de tangencia (serían T3 y T4).
  5. Ahora traza dos arcos. Uno con centro en O2 y radio hasta O1 y por otro lado, un arco con centro en O1 y radio hasta O2. No hace falta que los prolongues mucho. Con que lleguen al eje mayor será suficiente.
  6. A continuación traza dos líneas que pasen por O1 y O4 por un lado y por O2 y O4 por el otro. Donde esas rectas cortan a los arcos que dibujaste antes tienes los puntos de tangencia T1 y T2.
  7. Dibuja un arco con centro en O1 y radio hasta O2 que vaya de O2 a T2.
  8. Acto seguido dibuja un arco con centro en O4 y centro hasta T1 que vaya de T1 a T2.
  9. Para terminar traza un arco que tenga como centro O2 y radio hasta O1 que vaya de T1 a O1.

Aquí abajo tienes un vídeo donde puedes ver como se realiza paso a paso este procedimiento, para que no tengas ningún problema a la hora de solucionarlo.

Ovoide conocido el diámetro (método de Carlota)

Este es un método que yo no conocía. Aun no he visto ningún libro donde esté aplicado, de modo que mientras no encuentre una referencia escrita más antigua, se lo voy a atribuir a Carlota. Si te estás preguntando quién es Carlota, era una alumna mía que en un examen no se acordaba como realizar el ovoide conociendo el diámetro, y de manera brillante y elegante dio con esta solución recordando las propiedades de las tangencias.

La forma de solucionarlo es marcar de manera aleatoria el centro de la circunferencia pequeña que determina la punta. Luego determina los puntos de tangencia, y de esa manera deduce el radio de la circunferencia pequeña. Aquí abajo tienes una aplicación interactiva donde puedes mover los puntos azules para entender esta construcción.

Ovoide conocido el diámetro (Método de María Moreno)

He de reconocer que me encanta que mis alumnos demuestren inventiva a la hora de resolver ejercicios. Al igual que en el caso anterior, María Moreno era una alumna mía que no se acordaba del procedimiento para hallar el ovoide conocido su diámetro. No obstante, recordaba parte del procedimiento para construir el ovoide conocidos ambos ejes, y recordaba también las propiedades de las tangencias. Haciendo una mezcla de todos esos conocimientos, inventó este procedimiento, totalmente válido, para dibujar un ovoide conociendo su diámetro.

  1. En primer lugar, dibuja la mediatriz del diámetro AB. Así hallas el centro O1.
  2. Con centro en O1 y radio hasta A ó B, dibujas un arco. De esa manera tienes la parte mayor del ovoide.
  3. Ahora, con un radio cualquiera, y centro en O1, traza un arco y marcas sobre el diámetro O2 y O3.
  4. Con centro en O2 y radio hasta B, dibuja un arco.
  5. Traza un arco con centro en O3 y radio hasta A.
  6. Dibuja una línea desde O3 hasta este último arco que acabas de dibujar. En el punto donde corta a la mediatriz del diámetro tienes O4, y en el punto donde corta al arco, tienes T1.
  7. Repite la operación desde O2, dibujando una línea que pase por O4. Donde corta al arco tienes T2.
  8. Para terminar, dibuja un arco con centro en O4, y radio hasta T1 que llegue hasta T2. Ese arco es el último que te falta, y la punta de nuestro «huevo».

Ovoide conocidos el diámetro y el eje mayor

El método para dibujar un ovoide cuando te dan ambos ejes es el más complicado de todos, aunque tampoco mucho más que los anteriores. Tiene un punto curioso porque uno de los centros se marca de forma aleatoria. Tu punto de partida se parecerá a lo que ves a continuación.

Como dibujar un ovoide conociendo ambos ejes
  1. Empieza por prolongar el diámetro, ya que sobre el mismo hallarás más tarde los centros O3 y O4.
  2. Sobre un punto cualquiera marca el centro O2. Ya se que suena un poco raro, pero si, es el punto que tu quieras. Como consejo, no lo pongas muy lejos de D, porque entonces los puntos O3 y O4 se van al infinito (o casi).
  3. Dibuja una circunferencia con centro en O2 y radio hasta D. La distancia entre O2 y D es el radio r1 de la circunferencia de menor tamaño. Esa misma distancia la tienes que medir desde A y desde B en dirección al centro del ovoide para hallar los puntos E y F.
  4. Traza la mediatriz de E y O2 por un lado, y de F y O2 por el otro. Donde esas mediatrices cortan a la prolongación del diámetro tienes los centros O3 y O4.
  5. Si unes O3 con O2 con una línea y la prolongas, donde corta a la circunferencia de centro O2 tienes el punto de tangencia T2.
  6. De la misma manera, si unes O4 con O2 y prolongas esa línea, donde corta a la circunferencia de centro O2 tienes el punto de tangencia T1.
  7. Dibuja un arco con centro en O1 y radio hasta A que vaya de A a B.
  8. Ahora traza un arco con centro en O3 y radio hasta B que vaya de B hasta T2.
  9. Traza un arco con centro en O2 y radio hasta T2 que vaya de T2 a T1.
  10. Para terminar, dibuja un arco que tenga como centro O4 y radio hasta T1 que vaya de T1 hasta A.

Para que puedas comprender mejor este ejercicio, te he creado una aplicación interactiva. Puedes mover los puntos azules para variar el tamaño del diámetro o del eje mayor. También puedes mover el centro O2 para ver como se modifica la construcción. Espero que de esa manera puedas entender de manera más fácil como realizar este ejercicio.

Si todavía tienes dudas, aquí abajo tienes todo el procedimiento en vídeo, para que puedas ver tranquilamente como se realiza.

 
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