Circunferencias tangentes – Resolución de tangencias usando potencias

Circunferencia tangente a una recta r, que pasa por un punto conocido P y que tiene su centro sobre una recta s

En este caso conoces una recta r, a la cual la circunferencia debe ser tangente. También una recta s sobre la que se encuentra el centro de la circunferencia, y un punto P, que pertenece a la recta s y por el cual debe pasar la circunferencia solución. Tu punto de partida se parece a esto:

Este ejercicio se puede resolver aplicando el concepto de potencia. En primer lugar, debes darte cuenta de que hay dos posibles soluciones, una pequeña cuyo centro se encuentra entre P y el vértice, y una más grande cuyo centro estaría al otro lado. Estas dos circunferencias, al pasar por P, son tangentes entre si, y la recta tangente a ambas sería su eje radical.

1. Empieza por trazar la perpendicular a la recta s que para por P. Ese es el eje radical. Donde el eje radical corta a la recta r tienes el centro radical Cr.
2. Traza un arco con centro en Cr y radio hasta P. Donde ese arco corta a la recta r tienes los puntos de tangencia T₁ y T₂
3. Ahora dibuja perpendiculares a la recta r que pasen por T₁ y T₂. Donde esas perpendiculares cortan a la recta s tienes los centros O₁ y O₂
4. Para terminar, dibuja las circunferencias de centro O₁ y radio hasta T₁ y de centro O₂ y radio hasta T₂

Circunferencias tangentes a otra de centro conocido y a una recta conociendo el punto de tangencia

Para éste tipo de problemas conocemos una recta r tangente, una circunferencia dada y un punto de tangencia T determinado. Lo que se nos pide es hallar las dos circunferencias que son tangentes a la que se nos proporciona y a la recta dada. Este ejercicio ya se vio en las tangencias correspondientes a primero de bachillerato, donde lo resolvíamos usando las propiedades de las tangencias. Tu punto de partida debe ser semejante a esto:

Para resolverlo procederemos de la siguiente manera:

Trazamos la recta tangente a la circunferencia dada por el punto de tangencia T que conocemos. Si prolongamos esta recta, obtendremos el punto C, que es el centro radical de las tres circunferencias.

Con centro en C y radio CT trazamos un arco de circunferencia que corta a la recta en los puntos T₁ y T₂. Si trazamos perpendiculares desde T₁ y T₂, encontraremos los centros de las circunferencias tangentes que se nos solicita sobre la prolongación del segmento que forman O y T.

Como puedes ver, tendrás dos circunferencias. Una de ellas contendrá a la circunferencia inicial, y la otra será exterior.

Otra variante posible… conociendo el punto de tangencia sobre la recta

Este tipo de problemas son similares al planteamiento del ejercicio anterior, pero en ésta ocasión conocemos el punto de tangencia sobre la recta. Por lo tanto tu punto de partida se parecerá a esto:

Aquí tienes el vídeo con el desarrollo detallado del ejercicio, y más abajo la descripción detallada paso a paso.

Para empezar, trazaremos una perpendicular a la recta r que conocemos a partir del punto de tangencia T₁ que conocemos. Los centros de las circunferencias tangentes que buscamos se encontrarán sobre ésta perpendicular.

Sobre esta perpendicular que acabamos de trazar, dibujamos una circunferencia auxiliar con centro en cualquier parte de dicha perpendicular, al que llamaremos O₂, y radio O₂T. De ese modo obtenemos dos puntos de corte A y B sobre la circunferencia inicial que conocíamos de centro O₁.

La recta que une A y B es el eje radical de las circunferencias de centro O y O₁. Si prolongamos la recta que pasa por A y B hasta cortar sobre la recta r, obtendremos el centro radical Cr de la recta y las dos circunferencias de centro O y O₁. Desde Cr trazaremos ahora las rectas tangentes a la circunferencia inicial de centro O₁ hallando los puntos de tangencia T₁ y T₂

Para hallar los centros de las circunferencias tangentes buscadas solo tenemos que unir el centro de la circunferencia inicial dada O₁ con T₂, y en su prolongación tendremos el centro O₃ al cortar con la perpendicular a r que pasa por T₁. Del mismo modo, si unimos T₃ con O₁, en su prolongación hallamos O₄ en el punto de corte con la perpendicular a r que pasa por T₁.

Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y pasan por un punto dado

Para este tipo de ejercicios conoces dos rectas secantes y un punto contenido entre ellas por el que deben pasar las dos circunferencias tangentes. Tu punto de partida debe ser parecido a esto:

En el siguiente vídeo podéis ver todo el proceso de forma fácil y clara. Y justo debajo tenéis la transcripción.

Partimos de la base de una determinada información que conocemos. En éste caso, conocemos dos rectas concretas que denominaremos r y s. También conocemos un punto de corte que ambas circunferencias tienen en común al que llamaremos P.

Éste ejercicio es más sencillo de lo que en un principio pudiera parecer. En primer lugar, debemos recordar que la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas contiene los centros de ambas circunferencias. Partiendo de ésta base, en primer lugar trazaremos dicha bisectriz.

En segundo lugar, trazaremos una perpendicular a dicha bisectriz que pase por P. De ese modo podemos hallar P’, que se encuentra sobre esa perpendicular separada de la bisectriz por la misma distancia que P. Prolongamos esta perpendicular para hallar un punto de corte con una de las dos rectas, en éste caso A, que utilizaremos más tarde. Si te das cuenta, esta recta es el eje radical de las dos circunferencias que estamos buscando, y el punto de corte A, en realidad es el centro radical de estas dos circunferencias con la recta que ha cortado.

Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en un punto cualquiera sobre la bisectriz al que vamos a llamar O₁ y que pase por P y P’. Acto seguido hallaremos una recta que pase por A y sea tangente a dicha circunferencia auxiliar, hallando el punto T.

Para terminar, con centro en A y radio AT, trazamos una semicircunferencia para hallar los puntos donde las circunferencias tangentes tocan a la recta que contiene A. Estos puntos los llamaremos T₁ y T₂

Resolución dada una recta y los dos puntos de corte

En este caso el planteamiento es ligeramente distinto. Se nos proporciona una recta de tangencia r y los dos puntos donde dichas circunferencias se cortan entre si que llamaremos P y P’. Para este tipo de problemas podemos encontrar dos posibles opciones. En la primera de ellas, ambas circunferencias se encuentran en el plano. Esta tiene una solución mucho más fácil. En la segunda opción una o ambas circunferencias son tan grandes que no pueden ser contenidas en el plano.

Trazando dos perpendiculares a partir de dichos puntos hallaremos los puntos de corte con la bisectriz, que determinan los centros de ambas circunferencias tangentes.

Veamos como resolver ambas situaciones.

Caso 1: Las circunferencias tangentes están dentro del plano

Para este tipo de ejercicios la mediatriz entre los puntos P y P’ determina un ángulo agudo bastante cerrado con la recta de referencia. Tu punto de partida es semejante a esto:

En primer lugar trazaremos el segmento que une P con R y prolongaremos dicho segmento hasta cortar con la recta r hallando el punto A.

A continuación hallaremos la mediatriz del segmento PR, y en el punto donde corte A con la recta r tendremos el punto donde las rectas que contienen a las circunferencias se cortan.

Trazamos el reflejo de la recta r sobre la mediatriz, obteniendo la recta s. El resto del problema se resolverá como en el caso anterior.

Aquí abajo tienes la solución completa.

Caso 2: Cuando las circunferencias tangentes no están en el plano

En éste caso, una o ambas circunferencias tangentes no están contenidas en su totalidad dentro del plano de trabajo. Solo se puede visualizar parte de ellas. Tu punto de partida es algo similar a esto:

Para su resolución procederemos de la siguiente manera:

Unimos P y R y prolongamos éste segmento hasta su corte con la recta r, hallando así el punto A. Sobre esa mediatriz trazamos una circunferencia cualquiera con centro O₁, que pase por P y R

Hallamos la recta que pasa por el punto A y es tangente a la circunferencia que acabamos de trazar, obteniendo el punto T₁

Trazamos un arco con centro en A y radio igual al segmento AT₁, que corta a la recta r en los puntos T₂ y T₃ que corresponden con los puntos de tangencia de las circunferencias tangentes que buscamos.

Para terminar, levantamos perpendiculares a la recta r desde los puntos T₂ y T₃. Los puntos donde dichas perpendiculares cortan a la mediatriz de PR serán los centros de esas circunferencias.

Caso 3: Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasan por dos puntos conocidos P y R

Si entendemos que una recta es una circunferencia con su centro en el infinito, este ejercicio se resuelve igual que los anteriores.

1. Dibuja la mediatriz de R y P, sobre ella estarán los centros que buscamos, y que hallaremos más adelante.
2. Con centro en cualquier punto de esa mediatriz, traza una circunferencia que pase por R y P. Esa circunferencia corta a la de centro O₁ en los puntos A y B.
3. Traza la línea que une A y B. Ese es el eje radical de estas dos circunferencias.
4. Ahora traza la línea que une R y P. Ese es otro eje radical, el de las dos circunferencias solución (porque ambas pasan por esos dos puntos).
5. Donde los dos eje se cortan, tienes el centro radical Cr.
6. Halla los puntos de tangencia de las rectas que pasan por Cr con la circunferencia de centro O₁. Esos son los puntos de tangencia T₁ y T₂ de las circunferencias que buscas.
7. Une T₁ y T₂ con O₁, y donde esas líneas cortan a la mediatriz de R y P tienes O₃ y O₄, que son los centros de las soluciones que buscas.

Conocidas dos rectas tangentes y a una tercera circunferencia de centro O₁

En este caso, como explica el enunciado, tienes dos rectas secantes y una circunferencia interior, y lo que se pide es hallar las circunferencias tangentes a ambas rectas y a la circunferencia. Hay dos juegos de circunferencias solución. El primer caso supone dos circunferencias externas a la circunferencia inicial, y en el segundo caso las circunferencias contienen a la circunferencia inicial. Lo habitual es que solo te pidan un par de ellos, ya que hallar las cuatro circunferencias supone mucho tiempo y una gran cantidad de líneas que vuelve el ejercicio bastante confuso. Para simplificarlo, yo lo he dividido en dos ejercicios distintos, en uno hallarás las circunferencias externas, y en otro las internas.

Aunque no te lo creas, este ejercicio se resuelve igual que el ejercicio con dos rectas y un único punto. Para que lo veas, aquí tienes una aplicación interactiva, mueve el punto azul y lo comprobarás.

Aquí debajo tienes un vídeo con todo el proceso explicado, y un poco más abajo la transcripción y las láminas para poder realizar el ejercicio.

Resolución del primer par de circunferencias tangentes (externas)

Tu punto de partida será algo similar a esto:

Trazamos por la recta más alejada de la circunferencia (en éste caso r) una recta paralela a la que llamaremos r₁, separada de r por una distancia igual al radio de la circunferencia dada, y en la parte exterior de la recta. Si en vez de trazar la paralela por la recta más alejada de la circunferencia optamos por elegir la que esté más cerca, nos encontraremos con problemas más tarde, por lo que es importante tener en cuenta este punto.

Acto seguido hallaremos el punto O’ simétrico de O respecto a la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. La prolongación de la recta que forman O y O’ cortará a la paralela de r en el punto A.

Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en el punto medio entre O y O’ (al que llamaremos O₁) y con radio igual a la mitad de OO’

Desde A trazamos rectas tangentes a la circunferencia de centro O₁, obteniendo los puntos de tangencia T₁ y T₂.

Ahora trazaremos un arco con centro en A y radio AT₁, hallando los puntos de corte con la recta r₁, que llamaremos C y D.

Trazamos perpendiculares a la recta r₁ que pasan por los puntos C y D, donde estas rectas cortan a la bisectriz tendremos los puntos O₂ y O₃, solución de las dos circunferencias tangentes exteriores a la circunferencia dada.

Resolución del segundo par de circunferencias tangentes (que contienen a la inicial)

Tu punto de partida será algo similar a esto:

Al igual que en el acaso anterior trazamos por la recta más alejada de la circunferencia (en éste caso r) una recta paralela a la que llamaremos r₂, separada de r por una distancia igual al radio de la circunferencia dada, y en la parte exterior de la recta. La diferencia es que en este caso la recta paralela la realizaremos hacia el interior, acercándonos a la circunferencia inicial.

Ahora dibuja el punto O’ simétrico de O respecto a la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. La prolongación de la recta que forman O y O’ cortará a la paralela de r en el punto B.

A continuación halla los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia auxiliar que pasan por el punto B. De éste modo obtienes los puntos de tangencia T₃ y T₄.

Con centro en B y radio BT₃ trazamos un arco de circunferencia que corta a la recta r₂ en E y F. Si trazamos perpendiculares a r₂ que pasen por E y F hallaremos los centros de las circunferencias buscadas O₃ y O₄ en los puntos de corte con la bisectriz de las rectas.

Resolución final

Y en la siguiente imagen tenéis la resolución final con las cuatro circunferencias tangentes. Vale, a simple vista puede resultar un poco agobiante. Pero para facilitar las cosas te recomiendo que lo veas a pantalla completa en el ordenador y que hagas zoom sobre las partes de la construcción que quieras revisar.

Circunferencias tangentes a otra de centro conocido y que pasen por dos puntos dados.

En ésta ocasión se nos proporciona una circunferencia concreta con centro en O₁ y dos puntos, P y Q por los que pasan ambas circunferencias. Hay que aclarar que las circunferencias que se buscan en este problema han de pasar de manera obligatoria por ambos puntos, P y Q. Si solo pasaran por uno de ellos cada una, habría infinitas soluciones.

Tu punto de partida será algo similar a esto:

Aquí abajo tienes un vídeo con todo el proceso explicado paso a paso, y a continuación la transcripción de todo el ejercicio.

• El primer paso será unir P y Q y dibujar la mediatríz. Date cuenta de que sobre esa mediatríz se encontrarán los centros de ambas circunferencias. ¿Por qué lo se? Porque si tu dibujas la mediatríz de cualquier arco de cualquier circunferencia, siempre pasará por el centro de la misma.
• Ahora tienes que dibujar una circunferencia con centro en cualquier parte de esa mediatríz, pero es importante que el radio sea hasta P y que corte a la circunferencia que te dan.
• Los puntos donde esa circunferencia corta a la original los unes y prolongas la línea. Donde corta a la prolongación del segmento PQ tendrás el centro radical de las circunferencias.
• Tu siguiente paso será hallar los puntos de tangencia de la circunferencia inicial (de centro O₁) con el centro radical Cr. Esos puntos serán T₁ y T₂
• Si unes O₁ con T₂ y prolongas la línea, el punto donde corten a la mediatríz de PQ será el centro O₃ de una de las dos soluciones.
• Con centro en O₃ y radio hasta T₂ ya puedes dibujar la primera solución.
• Para hallar la segunda, une O₁ con T₁ y prolonga esa línea hasta que corte la mediatríz. Ese punto será O₂ el otro centro que buscas.
• Pincha en O₂ con el compás y mide de radio hasta T₁ y de esa manera podrás dibujar la otra circunferencia y así habrás solucionado el problema.

Te puede interesar…

Ayúdame a mejorar esta entrada

¿Hay algo que no entiendes? ¿Has descubierto una errata? Si es así, dime cuál y lo corregiré. ¿Crees que falta información o que hay algo que se podría mejorar? ¿Tienes un problema sin solución?
Al plantear tu duda ayudas a todas las personas que tienen la misma duda que tú, y me ayudas a enriquecer este artículo para hacerlo más útil para todos. Tus aportaciones ayudarán a todo el que lea este artículo después de ti. Gracias de antemano por dejar tu comentario un poco más abajo.

«Un voto inferior a 5 sin una explicación es un reflejo de tu propia inteligencia.» -Proverbio chino.