Se puede decir que tenemos dos circunferencias ortogonales cuando las rectas tangentes a una pasan por el centro de la otra, y además los puntos de tangencia coinciden con los puntos de intersección de ambas. Seguro que la imagen siguiente de aclara la idea. Puedes mover los puntos A y T1 para cambiar las circunferencias. El eje radical y las tangentes se calcularán de forma automática.
Circunferencia ortogonal a otras dos y que pasa por P
En este caso partes de la premisa de dos circunferencias conocidas, y un punto exterior a ambas. Lo que se pide es una circunferencia que pase por ese punto P y que además sea ortogonal con las otras dos. Para ello vamos a recurrir al concepto de eje radical, centro radical y segmento representativo de potencia. Veamos como se resuelve:
- Empieza por hallar el eje radical de las circunferencias de centro O1 y O2. Para ello traza una circunferencia de centro cualquiera O3 que corte a las otras dos en A, B, C y D.
- Ahora dibuja la recta que pasa por A y C, y la que pasa por B y D. Donde estas se cortan tienes el punto E, que pertenece al eje radical. Si trazas una perpendicular al segmento que une O1 y O2 que pase por E tienes el primer eje radical, al que he llamado eje1.
- El siguiente paso es dibujar el eje radical de una de las circunferencias y P. Yo lo he realizado con la circunferencia de centro O2, aunque también se puede hacer con la otra. Si no recuerdas como se hace, empieza por dibujar una perpendicular al segmento O2P por P.
- A continuación traza una circunferencia cualquiera sobre esa perpendicular y que corte a la circunferencia de centro O2 en dos puntos, a los que llamaremos G y F.
- Dibuja la línea que une G y F y prolóngala hasta cortar el segmento que une P con O2. Ese punto llámalo H.
- Dibuja una perpendicular al segmento O2P que pase por H. Ese es el eje radical, al que llamaremos eje2. Donde el eje2 corta al eje1 tienes el centro radical, al que llamaremos Cr.
- La circunferencia solución la encuentras pinchando con el compás en Cr y tomando como radio la circunferencia entre Cr y P.
Date cuenta de que las tangentes dibujadas desde el centro radical a las circunferencias siempre tienen la misma potencia, y siempre cortan ortogonalmente.
Circunferencia ortogonal a otras dos y con centro en r
Para resolver este ejercicio, también vamos a recurrir como en casos anteriores al concepto de centro radical. De hecho, la circunferencia solución será la que tenga por centro el centro radical de las dos circunferencias y la recta, y cuyo radio es igual al valor del segmento representativo de potencia.
- Empieza por dibujar una circunferencia de radio cualquiera O3. Esa circunferencia corta a las que conocemos en A, B, C y D.
- Dibujando las líneas que pasan por A y C, y por B y D y viendo donde cortan tenemos E, que pertenece al eje.
- Ahora dibuja una perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias y que pase por E. Ese es el eje radical de ambas circunferencias. Donde ese eje corta a la recta r tienes el centro radical, al que puedes llamar Cr.
- Halla el punto de tangencia de una recta cualquiera que pase por Cr en una de las dos circunferencias. De esa manera hallarás T. Fíjate que el segmento CrT es el segmento representativo de la potencia.
- Con centro en Cr y radio hasta T puedes trazar la circunferencia solución.
Circunferencia ortogonal a otra y que pasa por dos puntos dados A y B
Para este ejercicio se te proporciona una circunferencia conocida, de centro O1, y dos puntos A y B. Lo que se pide es dibujar una circunferencia que pase por ambos puntos y que corte ortogonalmente a la dada. Para ello lo que tienes que hacer es hallar el centro radical de la circunferencia y ambos puntos, y luego dibujar con centro en el centro radical y radio hasta uno de los dos puntos. El procedimiento paso a paso es así:
- Dibuja la línea que une O1 con A, y luego traza una perpendicular a esa línea que pase por A.
- En cualquier punto de esa perpendicular marca O2 y luego traza una circunferencia de centro O2 y radio hasta A que corte a la circunferencia de centro O1 en C y D.
- Dibuja la línea que pasa por C y D hasta cortar al segmento O1A. El punto de corte es E. La perpendicular al segmento O1A que pasa por E será el eje1.
- Para hallar el eje2 dibuja el segmento que une O1 con B y luego haz una perpendicular al mismo por B.
- Sobre esa perpendicular marca O3, y luego haz una circunferencia de centro O3 y radio hasta B que corte a la circunferencia de centro O1 en F y G.
- Donde la recta que pasa por F y G corta al segmento O1B tienes el punto I. El eje2 es la recta perpendicular al segmento O1B y que pasa por I.
- Donde eje1 y eje2 se cortan tienes el centro radical Cr.
- Con centro en Cr y radio hasta A (o hasta B) traza la circunferencia solución.