Problema de Apolonio – Circunferencias tangentes a tres circunferencias

El problema de Apolonio hace referencia a como hallar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Éste problema tiene ocho soluciones posibles, como veremos más adelante. Para poder resolver éste ejercicio es importante conocer diversos recursos didácticos que nos van a ayudar a resolverlo, como son el eje radical de dos circunferencias, el centro radical de tres circunferencias y el de recta polar de una circunferencia respecto a un punto. Para no hacer ésta explicación demasiado farragosa, porque os aseguro que la cantidad de lineas y puntos que vais a ver es realmente sorprendente, iré poniendo imágenes de cada paso, y para los pasos siguientes iré borrando los pasos ya dados para simplificar la visibilidad de los pasos siguientes.

Partimos de tres circunferencias conocidas cuyos centros hemos llamado O₁, O₂ y O₃.

Paso 1: Hallar los seis centros de homotecia

En primer lugar, hallaremos todos los centros de homotecia (seis en total).

Hallamos los puntos de homotecia de O₁ y O₃

• Trazamos una recta que une O₁ con O₃.
• Ahora trazaremos un segmento que parte de O₁ y que corta a la circunferencia en cualquier punto P₁
• Trazamos una recta paralela al segmento O₁P₁ que pasa por el centro de O₃.
• Obtenemos los puntos A₁ y B₁, donde dicha recta paralela corta a la circunferencia de centro O₃
• Unimos P₁ con A₁ y B₁, en los puntos donde corta a la recta que pasa por O₁ y O₃ tenemos los centros de homotecia de O₁ y O₃, a los que vamos a llamar H₁ y H₂.

Hallamos los puntos de homotecia de O₁ y O₂

• Trazamos una recta que pasa por O₁ y O₂.
• Acto seguido realizamos un segmento cualquiera con origen en O₁ y que corta en cualquier punto P₂ a la circunferencia.
• Trazamos una recta paralela al segmento O₁P₂ y que pasa por O₂. Así obtenemos los puntos A₂ y B₂ en los puntos de corte de ésta recta con la circunferencia de centro O₂.
• Unimos P₂ con B₂, y en punto en donde corta la recta que une O₁ y O₂ tenemos el tercer punto de homotecia al que llamaremos H₃.
• Unimos P₂ con A₂ y en su prolongación, al cortar la recta que pasa por O₁ y O₂ obtenemos el cuarto punto de homotecia que llamaremos H₄.

Hallamos los puntos de homotecia de O₂ y O₃

Como imagino que estáis viendo, resolver el problema de Apolonio no es excesivamente complejo, pero si bastante tedioso. Trabajando sobre el papel debemos ser muy cuidadosos. Es recomendable ir borrando los pasos intermedios para no confundirnos con la cantidad de lineas que se pueden llegar a generar. El proceso es como en los dos pasos anteriores, no obstante lo repetiré para que quede claro.

• Trazamos una recta que pasa por O₃ y O₂.
• Ahora vamos a dibujar un segmento cualquiera con origen en O₂ y que corta en cualquier punto P₃ a la circunferencia.
• Trazamos una recta paralela al segmento O₂P₃ y que pasa por O₃. Así obtenemos los puntos A₃ y B₃ en los puntos de corte de ésta recta con la circunferencia de centro O₃.
• Unimos P₃ con B₃, y en punto en donde corta la recta que une O₃ y O₂ tenemos el quinto punto de homotecia al que llamaremos H₅.
• Unimos P₃ con A₃ y en su prolongación, al cortar la recta que pasa por O₃ y O₂ obtenemos el sexto punto de homotecia que llamaremos H₆.

Resolviendo el problema de Apolonio: Hallar polos

Para continuar la resolución del problema de Apolonio, hemos de hallar los polos de cada una de las circunferencias respecto a las rectas polares que forman los centros de homotecia alineados en grupos de tres entre si.

Llegados a éste punto voy a hacer una pequeña aclaración… Si os fijáis, hay cuatro posibles rectas polares. Os pondré una imagen para que lo veáis más claro.

Cada uno de éstos ejes determina dos posibles circunferencias tangentes a éstas tres circunferencias, por eso hay ocho posibles soluciones. Más aún, si os fijáis bien, tres ejes pasan entre las circunferencias, mientras que uno de ellos pasa por fuera. Los ejes que pasan entre las circunferencias Siempre contienen una o dos de las circunferencias. Pero el eje que no pasa entre ellas es el que determina las circunferencias inscrita y exinscrita, es decir, la circunferencia que contiene a las tres circunferencias a la vez y la que no contiene a ninguna de ellas. Vamos a empezar pues con éste eje.

Para ello debemos recordar como hallar tangencias, pues lo vamos a necesitar.

• Empezaremos por la recta que forman H₄, H₂ y H₆. A ésta recta polar la llamaremos e₁.

Hallamos el polo de O₁ respecto a e₁

• Trazamos una perpendicular a e₁ y que pasa por O₁. El punto en el que corta a e₁ lo llamaremos Base₁.
• Hallamos uno de los puntos de tangencia de una recta que pase por Base₁ con la circunferencia de centro O₁. Para ello hacemos lo siguiente:
  • Hallamos el punto medio del segmento O₁Base₁, al que llamaremos C₁.
  • Con centro en C₁ y radio C₁O₁ trazamos una circunferencia que corta a la circunferencia de centro O₁ en un punto al que vamos a llamar Tangencia₁.
• Trazamos una paralela a e₁ y que pasa por Tangencia₁, en el punto en el que corta al segmento O₁C₁ tenemos el Polo de O₁ respecto al eje e₁. A éste punto lo llamaremos Polo₁.

Hallamos el polo de O₂ respecto a e₁

• Trazamos una perpendicular a e₁ y que pasa por O₂. Al punto en que corta a e₁ lo vamos a llamar Base₂.
• Hallamos uno de los puntos de tangencia de una recta que pasa por Base₂ con la circunferencia de centro O₂. Para ello procedemos así:
  • Hallamos el punto medio del segmento O₂Base₂, al que llamaremos C₂.
  • Con centro en C₂ y radio C₂O₂ trazamos un arco de circunferencia que corta a la circunferencia en un punto al que llamaremos Tangencia₂.
• Trazamos una paralela a e₁ y que pasa por Tangencia₂. El punto en el que corta al segmento O₂C₂ nos determina el segundo Polo, el de O₂ respecto al eje e₁, al que vamos a llamar Polo₂.

Hallamos el polo de O₃ respecto a e₁

• ¡Vamos a por el último!
• Realizamos una perpendicular al eje e₁ y que pasa por O₃. Al punto en que corta a e₁ lo llamaremos Base₃.
• Una vez más, necesitamos localizar uno de los puntos de tangencia de una recta que pasa por Base₃ y que sea tangente a la circunferencia de centro O₃. Para ello:
  • Hallamos el punto medio del segmento que une O₃ y Base₃, al que llamaremos C₃.
  • Con centro en C₃ y un radio igual al segmento que forman C₃ y O₃ trazamos un arco que corta a la circunferencia de centro O₃ en un punto al que llamaremos Tangencia₃.
• Ahora realizamos una recta paralela al eje e₁ y que pasa por Tangencia₃. El punto en el que corta al segmento C₃O₃ será el tercero de los polos que buscamos, al que vamos a llamar Polo₃.

Solucionando el problema de Apolonio: Primer par de circunferencias tangentes

Ya estamos más cerca de solucionar parte del problema de Apolonio y de hallar el primer par de circunferencias tangentes de las ocho posibles que tiene éste problema. ¡Ánimo, que ya falta menos!

Ahora debemos encontrar el centro radical de las tres circunferencias. Para ello procedemos de la siguiente manera:

Hallamos el eje radical de O₁ y O₂

Primero vamos a hallar el eje radical de las circunferencias de centro O₁ y O₂. Veamos como:

• Unimos O₁ y O₂ con un segmento.
• Trazamos la mediatriz de dicho segmento.
• Ahora, con centro en cualquier punto de esa mediatriz, y con cualquier radio, dibujamos una circunferencia auxiliar que corte a las circunferencias de centro O₁ y O₂. A los puntos de corte los voy a llamar Q₁, R₁, S₁ y X₁.
• Unimos Q₁ y R₁ con una recta, y S₁ y X₁ con otra recta. El lugar en que se cortan lo llamaremos Y₁.
• El eje radical de las circunferencias O₁ y O₂ es una recta perpendicular al segmento que une los centros de O₁ y O₂ y que además pasa por Y₁, de modo que lo dibujamos y lo llamaremos Eje₁.

Seguro que a estas alturas ya debéis estar un poco cansados del problema de Apolonio, pero no desesperéis que ya casi lo tenemos…

Hallamos el eje radical de O1 y O3

Para hallar el centro radical de las tres circunferencias necesitaremos otro eje radical, y donde ambos ejes se corten, tendremos el centro radical de las tres circunferencias.

Repetimos los pasos del apartado anterior, pero ésta vez respecto a O1 y O3. Recordemos como:

• Trazamos un segmento que une O₁ y O₃.
• Hallamos la mediatriz de O₁ y O₃.
• Sobre dicha mediatriz, con un radio cualquiera que corte a ambas circunferencias, trazamos una circunferencia auxiliar que corta a O₁ y O₃ en Q₂, R₂, S₂ y X₂.
• Trazamos una recta que pasa por R₂ y Q₂.
• Trazamos una recta que pasa por S₂ y X₂.
• El punto en que ambas rectas se cortan lo llamaremos Y₂. Éste punto se encuentra sobre el eje radical de O₁ y O₃, por lo tanto lo único que tenemos que hacer es trazar una perpendicular al segmento que une O₁ y O₃ y que pasa por Y₂. Éste será el eje radical buscado, al que llamamos Eje₂.

¡Ya lo tenemos! El punto en que el Eje₁ y el Eje₂ se cortan será el centro radical de las tres circunferencias, al que voy a denominar C_r.

Primera solución al problema de Apolonio

Vamos a hallar el primer par de circunferencias tangentes a éstas tres circunferencias, y de ese modo hallaremos la primera solución posible para el problema de Apolonio, que además suele ser la más solicitada, la de las circunferencias inscritas y exinscritas a éste trío de circunferencias.

Ahora desde el centro radical trazamos rectas que pasan por los polos y cortan a las circunferencias en T₁, T₂, T₃, T₄, T₅ y T₆. Éstos son los puntos de tangencia de las circunferencias interior y exterior.

La primera terna de puntos (T₂, T₄ y T₆) determinan los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita. Recordemos que desconocemos el centro de dicha circunferencia.

Hallamos los centros de las circunferencias

Llegados a éste punto, debemos recordar como hallar el circuncentro de un triángulo. Por si lo habéis olvidado, hay que localizar el punto donde las mediatrices del triángulo se cortan. No es necesario hallar las tres mediatrices, con que hallemos dos de ellas nos bastará, de ese modo obtenemos el centro de la circunferencia inscrita a la que vamos a denominar O₄.

Con centro en O₄ y radio hasta T₂, T₄ ó T₆, trazamos la primera de las ocho posibles circunferencias que son la solución al problema de Apolonio.

Para la segunda procederemos de modo similar… Trazamos las mediatrices de T₁ con T₃ y de T₃ con T₅ . En el punto en que se corten tendremos el centro de la circunferencia exinscrita a las tres circunferencias iniciales.

A éste punto lo vamos a llamar O₅ . Con centro en O₅ y radio hasta T₁ , T₃ ó T₅ , trazamos la circunferencia exinscrita a las tres circunferencias iniciales.

Segunda solución al problema de Apolonio

Vamos a hallar ahora el segundo par de circunferencias tangentes a éstas tres circunferencias. En ésta ocasión vamos a utilizar la terna formada por H₃ , H₁ y H₆ . Estos tres centros de homotecia que teníamos hallados de antes los unimos con una recta a la que vamos a llamar e₂ .

Ahora vamos a hallar los polos de las circunferencias respecto a éste eje e₂ .

Hallamos el polo de O₁ respecto a e₂

• Trazamos una perpendicular que pase por el centro de O₁ hasta el eje e₂, y el punto en el que corta a dicho eje lo llamaremos Base₄.
• Hallamos el punto medio del segmento que forman O₁ y Base₄, al que vamos a llamar C₄
• Con centro en C₄ y radio igual al segmento que forman O₁ y C₄ trazamos una circunferencia que corta a la circunferencia de centro O₁ en el punto de tangencia al que vamos a llamar Tangencia₄
• Realizamos una paralela a e₂ que pasa por Tangencia₄ y que corta al segmento que forman el centro de la circunferencia de centro O₁ y al punto Base₄.
• El punto en que se cortan, es el polo de la circunferencia de radio O₁ respecto al eje e₂. Lo vamos a llamar Polo₄.

Hallamos el polo de O₂ respecto a e₂

• Ahora trazamos una perpendicular al eje e₂ que pasa por el centro de la circunferencia con centro en O₂. Al punto en que corta al eje e₂ lo vamos a llamar Base₅.
• Hallamos el punto medio del segmento que forman O₂ y Base₅, y a dicho punto lo vamos a llamar C₅.
• Trazamos un arco con centro en C₅ y radio igual al segmento que forman C₅ y O₂. Este arco corta la circunferencia de centro O₂ en un punto de tangencia del punto Base₅ respecto a la circunferencia de centro O₂. A éste punto lo vamos a llamar Tangencia₅.
• Si trazamos una paralela al eje e₂ que pasa por Tangencia₅, en el punto en que corta al segmento formado por C₅ y O₂ tenemos el polo de la circunferencia de centro O₂ respecto al eje e₂. A éste polo lo vamos a llamar Polo₅.

Hallamos el polo de O₃ respecto a e₂

• ¡Vamos a por el último polo de ésta terna!
• Trazamos la perpendicular al eje e₂ que pasa por O₃, y al punto en que ésta recta corta al eje e₂ tenemos un punto al que vamos a llamar Base₆.
• Hallamos el punto medio del segmento que une Base₆ y O₃, y a éste punto medio lo llamaremos C₆.
• Trazamos un arco de circunferencia con centro en C₆ y radio igual al segmento que forman C₆ y O₃. Donde corta a la circunferencia de centro O₃ tenemos el punto de tangencia de las rectas que pasan por Base₆ y son tangentes a la circunferencia de radio O₃. A éste punto lo llamaremos Tangencia₆.
• Ahora realizamos una recta paralela al eje e₂ y que pasa por Tangencia₆. En el punto en que corta al segmento que forman C₆ y O₃ tenemos el polo de la circunferencia de centro O₃ respecto al eje e₂. A éste punto lo vamos a llamar Polo₆.

Hallamos los puntos de tangencia

• Llegados a éste punto trazamos rectas que pasan por el centro radical de las tres circunferencias Cr y pasan por Polo₄, Polo₅ y Polo₆. A los puntos en que corta a las circunferencias de centro O₁, O₂ y O₃ los vamos a llamar T₇,T₈,T₉,T₁₀,T₁₁ y T₁₂.

Llegados a éste punto, y para evitar enmarañar todavía más el desarrollo, me voy a permitir el lujo de borrar todos los pasos intermedios de éste apartado y quedarme solo con los puntos T de tangencia y el eje e₂ para proceder a la resolución de éste par de circunferencias tangentes.

Con lo cual la cosa quedaría así…

Hallamos los centros de las circunferencias tangentes

¿Cómo sabemos que puntos de tangencia pertenecen a que circunferencias? Podemos hacerlo por intuición o por la técnica de ensayo y error, pero si nos fijamos en el eje es mucho más fácil. El eje deja una circunferencia aislada de las otras dos. Ésta es la que vamos a usar de guía. En una de las circunferencias los tres puntos de tangencia serán el punto de tangencia más cercano al centro radical que pertenece a ésta circunferencia, y por otra parte los puntos más alejados del centro radical de las otras dos. Y por tanto, la otra circunferencia la determinarán los puntos más cercanos al centro radical de las otras dos circunferencias, y el más alejado de la que queda aislada.

Es decir, la primera circunferencia pasa por T₈, T₉, y T₁₂, y la segunda circunferencia pasará por T₇, T₁₀, T₁₁.

Como hallar el centro de la circunferencia conociendo tres puntos

Para hallar el centro de la circunferencia que pasa por T₈, T₉, y T₁₂, tenemos que hallar donde se cortan las mediatrices de los segmentos que unen estos puntos. Ésta será la tercera circunferencia que será una solución posible al problema de Apolonio. Si no recordáis como se halla el centro, os lo recuerdo rápidamente.

• Con centro en T₈ y radio igual al segmento que forman T₈ y T₉ trazamos un arco.
• Desde T₉ y con el mismo radio, trazamos un arco que corta al anterior.
• La recta que une los dos puntos de corte es la mediatriz del segmento que forman T₈ y T₉
• Repetimos la operación con el segmento que forman T₉ y T₁₂
• En el punto en que se cortan ambas mediatrices tenemos el centro de la circunferencia que pasa por T₈, T₉, y T₁₂ al que vamos a llamar O₆
• Con centro en O₆ y radio igual al segmento que forman O₆ y T₉ trazamos la tercera de las ocho posibles circunferencias tangentes.

Cuarta circunferencia solución al problema de Apolonio

Ya tenemos tres de las ocho posibles circunferencias que proporcionan una posible solución al problema de Apolonio. Vamos a por la cuarta. Me vais a permitir, viendo lo largo que se está haciendo ésto, que a partir de ahora resuma los pasos. Si tenéis alguna duda, siempre podéis volver más arriba para repasar los pasos que hemos dado, porque los que siguen son repetición de ellos.

• Hallamos las mediatrices de los segmentos que forman T₇, T₁₀, y T₁₁
• Donde se cortan tenemos el centro O₇
• Con centro en O₇ y radio igual al segmento que forman O₇ y T₁₁ trazamos la cuarta circunferencia tangente a las tres iniciales.

Llevamos cuatro de las ocho circunferencias posibles que serían la solución al problema de Apolonio. La cosa hasta el momento, haciendo limpieza de puntos y rayas quedaría así…

Solucionando el problema de Apolonio: Tercer par de circunferencias tangentes

Ya llevamos la mitad de la resolución del problema de Apolonio, pero tranquilos, que a partir de ahora iré más rápido. Si tenéis dudas repasar los pasos anteriores, porque lo que sigue es una repetición de lo que ya llevamos hecho.

• Trazamos el eje e₃ uniendo los puntos de homotecia H₃, H₅ y H₂
• Hallamos los polos de las circunferencias respecto a éste eje, a los que llamaremos Polo₇ , Polo₈ y Polo₉
• Trazamos rectas desde el centro radical Cr que pasan por los polos, cortando a las circunferencias en T₁₃, T₁₄, T₁₅, T₁₆, T₁₇ y T₁₈
• Trazamos la circunferencia que pasa por T₁₄, T₁₅ y T₁₈ y la que pasa por T₁₃, T₁₆ y T₁₇

Si mostramos todas las que hemos solucionado hasta ahora, la cosa queda como se ve en la siguiente imagen.

Solución al problema de Apolonio: Último par de circunferencias tangentes

Vamos a por el último par de circunferencias que son la última solución que nos queda al problema de Apolonio.

• Trazamos el eje e₄ que pasa por H₁, H₅ y H₄
• Hallamos los polos de las tres circunferencias respecto a éste eje e₄
• Realizamos las rectas que parten del centro radical y pasan por los polos, hallando los puntos de tangencia T₁₉, T₂₀, T₂₁, T₂₂, T₂₃ y T₂₄
• Trazamos las circunferencias que pasan por T₂₀, T₂₂ y T₂₃ y por T₁₉, T₂₁ y T₂₄

La cosa quedaría como sigue:

Con lo cual, las ocho circunferencias que son la solución al problema de Apolonio son las que veis en la imagen siguiente.

Y como regalo, si os gusta el arte abstracto, aquí os dejo una imagen con todas las rectas, perpendiculares, paralelas, puntos y circunferencias utilizados hasta llegar a ésta solución ? ? ?